Notes on Manifold 7, Covariant derivative (2)

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En esta entrega está la última parte de lo referente a derivada covariante. Cabe destacar la importancia de la misma en la caracterización de transporte paralelo en curvas. Un claro ejemplo de ello es la aceleración centrípeta. También aparece la definición de geodésica determinada por la derivada.
La definición de Kozul puede extenderse a tensores (d) r-veces contravariantes y s-veces covariantes, dentro de los cuales están las formas diferenciales como tensores una vez covariantes.

Nota: x representa el producto tensorial en el fibrado tangente.

De la definición de torsión, el cual es un tensor a diferencia de la derivada covariante que no lo es, uno puede pedir que el fibrado no tenga torsión, en tales casos la derivada covariante es simétrica y por el teorema de Weyl uno puede encontrar una carta coordenada loca donde se anule los símbolos de Cristoffel de tal manera que en dicha carta sea un espacio euclideo. Esto tiene mucha importancia en relatividad general, pues esto justifica el ascensor de Einstein y la covariancia de los sistemas no gravitantes o de Minkowsky.

Notes on Manifold 6, Covariant derivative (1)

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En esta entrega defino derivada covariante como translación paralela isomorfa, esta definición si bien es gráfica para el uso intuitivo, es inútil para su uso operacional. Por eso hago uso de la definición de Kozul que es la usada en la actualidad. Así como la derivada covariante coordenada donde para una carta local, permite definir los símbolos de Cristoffel de segunda especie y su uso no intrínseco. Por otro lado esto permite definir el concepto de espacio localmente euclídeo en una variedad.

Notes on Manifold 5, Lie’s derivative and Lie bracket

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En esta entrega hago mención a la Derivada de Lie para el caso de campos escalares, vectoriales (corchetes de Poisson) y formas diferenciales. Están en notación intrínseca, para llevarlo a una carta coordenada es cuestión de aplicar lo visto en las notas anteriores o preguntarmelo.
Nota: El espacio de todos los campos vectoriales sobre M forman un espacio vectorial lineal V(M) que dotado de los corchetes de Poisson definen un álgebra de Lie.

Maxwell like Gravitomagnetic Equations

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Las ecuaciones de campo de Einstein (1) junto con la condición de compatibilidad (2), permiten deducir un conjunto de ecuaciones similares a las ecuaciones de Maxwell pero para el campo de aceleración g. Si se supone que la distorsión de la métrica de Minkowsky debido a la presencia de materia es débil. Entonces se puede hacer un desarrollo en serie de primer orden del tensor métrico (3), donde eta es la métrica de plana con signatura (+1,-1,-1,-1). En función de esto se puede escribir el tensor de Ricci (4) y la curvatura escalar (5) en función del tensor métrico h. Luego por la definición del tensor G resulta la nueva condición de compatibilidad (7), la que da sentido al nuevo tensor de campo de curvatura k. El cual satisface una ecuación que permite reemplazar la ecuación no lineal (1) por otra lineal (8) donde T es el tensor de energía impulso de la materia y la radiación. Si se define los potenciales escalare gravitatorio y vectorial garvito-magnético (9) y (10) resulta el campo de aceleración de gravedad (9′) y el vector gravito-magnético (10′). En función de estos campos se puede simplificar (8) cuando no hay presencia de radiación electromagnética en las ecuaciones (11,12,13,14). Las cuales se las conoce como ecuaciones de campo gravito-magnético. Las cuales son similares a las ecuaciones de Maxwell. Salvo por el hecho que en gravedad no existe la masa negativa.

Notes on Manifold 2, tangent vectors at manifold

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En esta entrega sobre variedades suaves, expongo sobre lo que es el espacio tangente a una variedad en un punto, el cambio coordenado y lo más importante el diferencial de una aplicación entre variedades o pull-fower. Este tiene una representación en los espacios coordenados locales asociados a cada carta del la variedad. En el futuro esto permitirá definir los conceptos de fibrado tangente y cotangente.

Magnetic field tensor and Maxwell’s equations

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El vector inducción magnética B en si no es un vector sino un pseudo vector, de carácter similar al momento angular, el torque, etc. Este puede provenir de un tensor antisimétrico contraídos los índices usando el tensor de Levi-Civita (2). Donde se hecho uso de la convención de índices repetidos se suman de Einstein. Idéntica situación se puede formular para H, la intensidad de campo magnético. En función de esto se puede volver a escribir las ecuaciones de Maxwell que contemplen el carácter tensorial de los campos (3,4,5,6). Luego se puede simplificar la notación de la ecuación (6) a (7). Muy usada en relatividad. Esta forma de escribir las ecuaciones de Maxwell permite reducir el número de pasos para escribirlas en función del Tensor de Faraday covariante y su dual de campo.

Nature and Golden Number.

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La serie de Fibonacci (año 1202) proviene de resolver una ecuación recursiva (1) con condiciones iniciales muy particulares, como se ve en la figura. Si se cambia estas condiciones iniciales se obtiene la serie de Lucas (año 1850). La solución general de la serie viene dada por (2) donde apare un número irracional muy usado en varios campos de la arquitectura conocido como c o número aúrico en castellano. Dicho número es solución de (1) con A_0=1 B_0=0, si este fuera el radio de una espiral elíptica esta se vería en varias formas de la naturaleza, por ejemplo la flor y planta de la figura.