Dynamical systems (IV)

De blog2
En esta entrega sigo con el tema de estabilidad pero desde un punto de vista general en un espacio métrico con signatura positiva, de manera tal que la definición de norma (7) tenga sentido usual y no aparezca vectores no nulos con norma cero. Cabe destacar que el párrafo 6 se lo puede relacionar con lo enunciado en el anterior post sobre la función de Morse. Pues la estabilidad de la solución lineal está relacionado con el carácter de la función de Morse. Es decir si todos los autovalores de la ecuación lineal asociada tiene su parte real negativa, el punto crítico será estable, ó es lo mismo que decir que la función de Morse tiene índice k=n. Por otro lado la existencia de este homeomorfismo es muy funcional al cálculo de la estabilidad, pues no requiere el estudio del sistema completo que a veces es imposible.

Dynamical systems (III)

De blog2
En esta entrega doy la definición de derivada orbital (1), que se caracteriza por estar evaluada en la órbita o flujo del sistema dinámico en el espacio de las fases. En función de esta definición se puede enunciar cuando un campo escalar es una integral primera de movimiento, muy usado en mecánica y física elemental, donde es conocida como la energía total en física o Hamiltoniano en mecánica.
El apartado 5 ya hace referencia al concepto de estabilidad de un punto crítico al relacionarlo localmente por medio de un difeomorfismo con una función de Morse de índice k. Pues el punto crítico de esta función es estable cuando k=n. Por lo que un punto crítico será estable cuando sea difeomorfo a una función de Morse de índice k=n.
Si bien este último es interesante, es inpráctico y tiene validez teórica para la definición de estabilidad de soluciones y órbitas.

Dynamical systems (I), basic concepts

De blog2
Un sistema dinámico a tiempo continuo o parámetro de evolución viene definido por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y una serie de condiciones iniciales dada por (1), este sistema por el teorema de existencia y unicidad existe una única solución. Pero el teorema no dice como hallar la solución, ya que no es un teorema constitutivo. La solución que satisface las condiciones iniciales se la conoce como órbita, flujo o trayectória que subyace en una variedad simpléctica. El flujo en si es un homeomorfismo entre la suma de reales y la composición de operadores uno paramétricos (2). El carácter del sistema dinámico viene dado tanto por el campo vectorial como por el flujo. Igual análisis se puede extender a los sistemas a tiempo discreto, mapas o ecuaciones en diferencias (3). Pero con la peculariedad que un mapa tiene unas propiedades adicionales que no tiene un sistema dinámico a tiempo continuo que se explicará en el futuro.
Cabe destacar que un sitema conservativo no es necesariamente hamiltoniano, pero todo sistema hamiltoniano es conservartivo.