Boltzmann’s H Theorem and Entropy

Aquí hago una deducción de la entropía de Maxwell-Boltzmann (8) para sistemas que alcanzan el equilibrio termodinámico. Esta técnica usa el teorema H de Boltzmann el cual maximiza el cumulante de primara especie de una distribución de probabilidades (1). La razón porqué Boltzman usó este es que era muy similar a la entropía de una mezcla de gases ideales, y a la entropía de soluciones regulares. Es decir él supuso que la mezcla de estados en el espacio de las fases no era interactuante y que la entropía, como medida de la evolución del colectivo, respondía a un hecho estadístico de la fluctuaciones de los estados.

Geometric entropy エントロピー

En este caso presento una deducción de la entropía geométrica usada un la mecánica estadística, desde el punto de vista combinatorio. Para ello se parte de una variable aleatoria discreta que representa alguna propiedad tal que se le puede asociar una probabilidad (2). Entonces el conjunto de objetos idénticos que posean dicha propiedad será (3). La cantidad de formas de ubicar esos objetos en N sitios no es mas que un problema de combinaciones con repetición (5). Como dos propiedades son estadísticamente independientes (6) resulta (7) o (8) respecto al número total de formas de ubicar un universo de objetos idénticos de a grupos. Luego se propone una función que sea extensiva (9), para luego hallar (9). En el caso particular de escoger la contante de Boltzmman queda lo ya conocido (10).

Gravitational field generated by a small rotating mass, 重力フィールドには、小さな回転質量生成

Aquí enfoco el problema de encontrar el campo gravitatório de una masa que gira pequeña en el sentido del tamaño respecto a la distancia, pero no respecto de su masa la cual puede ser tan grande como el de una estrella de neutrones.  Se parte de la solución particular para el campo geomagnético (1) el cual es el rotor de un potencial (2), para luego hacer un desarrollo en serie de potencias (3). Luego de varios pasos se obtiene (7).

Frame Dragging Generalized potential, 磁性-重力

En esta entrega obtengo el potencial gravitomagnético (Frame Dragging) generalizado para eso parto de la solución transversal de las ecuaciones gravitomagnéticas. Es decir se verifica (3), luego de la ecuación de la aceleración gravitacional obtenida de la ecuación de la geodésica (4), operando se obtiene finalmente (6), donde se obtiene el potencial generalizado gravitomagnético, este difiere de su par obtenido de la fuerza de Lorentz para el caso del campo electromagnético. En el caso de la tierra el potencial sería (8). 

The time curve as Élie Cartan

En este caso encaro el problema de la curvatura del tiempo, pero no del espacio, desde el punto de vista postulado por Élie Cartan. Desde ese punto de vista el espacio tiempo es un fibrado paramétrico. Cuyo parámetro es el tiempo propio. Esto es muy diferente a lo que se conoce como variedad vectorial que es la base de la geometría diferencial, aquí se trata de una variedad escalar. Esto no significa que pueda asociarse un fibrado vectorial tangente y cotangente.  Considero el cambio de coordenadas desde una carta fibrada con tiempo recto a una carta fibrada con tiempo curvo, cuya curvatura venga dada por (1). Es decir estoy considerando un sistema de coordenadas lagrangianas y no eurelianas, de manera que el tiempo sea una transformación afin (2). Luego de las ecuaciones de Newton para el campo gravitatorio (3) se obtiene la ecuación de la geodésica (4) cuya conexión afín viene dada por (5), esta conexión no es métrica, pero eso no interesa por ahora. Suponiendo que la curvatura del tiempo deba ser coherente con un hecho empírico a gravedad débil como es el corrimiento al rojo gravitacional (6) entonces resulta (7). En el caso de campo gravitatório estático de longitud gravitacional conocida queda como ecuación de movimiento en la velocidad radial (8), en el resto de coordenadas es trivial. En este caso aparecen dos puntos de retroceso, donde uno coincide con el radio de Schwarschild. Este resultado no contemplado en la carta de tiempo recto, muestra que aún en un espacio de coordenadas plano con tiempo propio curvo la discontinuidad analítica que produce este radio aparece inevitable.