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Porque es necesario un espacio vectorial en cuántica

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A diferencia de la mecánica clásica, donde el determinismo permite definir sistemas donde sus soluciones están incluidas en el sigma álgebra de Borel, las paradojas estilo el gato de Schrödinger son monea corriente en cuántica. Un claro ejemplo es lo que aparece en la figura y traslademos esto al gato de Schrödinger. Hasta que no se determina el estado del gato por una medición la lógica Booleana y su premisa del tercero excluido no tienen sentido. De igual forma en la figura para una proyección es un circulo y para otra es un cuadrado. Pero si uno quisieses describir el objeto tridimensional con sólo las proyecciones, como ocurre en la mecánica cuántica, este estaría en un estado cuadrado y círculo a la vez. Esto es posible gracias a que el espacio en que está inmerso el objeto tridimensional es un espacio Euclideo de 3 dimensiones el cual es un espacio vectorial. Un sistema formal con paradojas como estas, donde no vale el tercero excluido, sólo es posible describirlo en un espacio vectorial y no valdría la probabilidad como ocurre en un sistema mecánico clásico, donde tiene sentido definir la medida exterior de Lebesgue.

 

La decoherencia cuántica y la inexistencia de la primera cuantización (modernicemos conocimientos)

Hans Dieter Zeh, uno de los padres
del concepto de decoherencia cuántica en 1970 publicó en 2003 un
artículo titulado “No existe la primera cuantización (“There is no
“first” quantization,” Physics Letters A http://dx.doi.org/10.1016/S0375-9601(03)00209-3)
Zeh argumenta que sólo existen los campos cuánticos y que la llamada
“primera” cuantización es una simple consecuencia de la decoherencia. La
realidad está hecha de campos cuánticos y la cuantización correcta es
lo que impropiamente se llama “segunda” cuantización.

El principio de correspondencia de Niels Bohr ha sido clave en la
historia temprana de la mecánica cuántica, pero es engañoso porque hace
pensar que todo sistema cuántico resulta de la cuantización de un
sistema clásico. Hay conceptos cuánticos que no tienen análogo clásico y
además el límite clásico de un sistema físico cuántico no se puede
obtener, salvo en ejemplos triviales de libro de texto, aplicando el
límite cuando la constante de Planck tiende a cero.

El concepto fundamental para entender la transición entre un sistema
cuántico y un sistema clásico, entre un sistema microscópico y una
macroscópico, es el concepto de decoherencia. Introducido por Hans
Dieter Zeh en 1970, se popularizó entre los expertos a principios de los
1980 gracias al trabajo de Wojciech Zurek en 1981 y 1982 (“Pointer
basis of quantum apparatus: Into what mixture does the wave packet
collapse?,” Phys. Rev. D 24: 1516–1525, 1981; “Environment-induced
superselection rules,” Phys. Rev. D 26: 1862–1880, 1982) y entre los
profanos gracias a un artículo de Zurek en Physics Today en 1991
titulado “Decoherencia y la transición de lo cuántico a lo clásico”
(“Decoherence and the Transition from Quantum to Classical,” Physics
Today 44(10): 36-44, 1991)

La idea original de Zeh se basaba en la interpretación de Hugh
Everett III de los muchos mundos, por ello tuvo pocos adeptos hasta que
Zurek retomó la idea sin mencionar a Everett e introdujo el concepto de
decoherencia inducida por el entorno. Para que la idea fuera aceptada
por la mayoría influyó mucho el apoyo de John Wheeler, bajo cuya
dirección Zurek realizó un postdoctorado entre 1979 y 1981. Hoy en día,
la idea de decoherencia cuántica forma parte de la ortodoxia de la
mecánica cuántica.

Los modelos de decoherencia permiten explicar la ausencia de
superposiciones cuánticas en los estados macroscópicos de la materia,
sin necesidad de la intervención de un observador (evitando todo tipo de
paradojas asociadas a que el observador debe ser consciente del
resultado de la medida). La decoherencia es resultado del
entrelazamiento de todos los sistemas físicos con el entorno. En cada
observación de un sistema hay tres subsistemas implicados: el objeto a
medir, el aparato de medida y el entorno. Según los modelos de
decoherencia el entrelazamiento estos tres subsistemas y, en concreto,
la interacción entre el objeto a medir y el entorno, diluye la
superposición de estados cuánticos: “el gato de Schrödinger o está vivo o
está muerto, porque al ser un objeto macroscópico su interacción con el
entorno es muy fuerte”.

Los trabajos de Serge Haroche y David J. Wineland, galardonados con
el premio Nobel de Física 2012, sentaron las bases para la observación
experimental de la decoherencia cuántica. Sin embargo, la decoherencia
cuántica aún guarda muchos secretos para los físicos y todavía no
podemos afirmar que se entienda en detalle la frontera que existe entre
el mundo cuántico y el mundo clásico. Aún así, la mayoría de los
expertos cree que el problema es la ausencia de herramientas matemáticas
suficientemente poderosas y que conceptualmente el proceso está bien
descrito gracias a la decoherencia.

Haroche es principalmente conocido por demostrar la decoherencia
cuántica mediante la observación experimental, trabajando con colegas en
la École Normale Supérieure, en París en 1996.

Quantum eikonal

En esta entrega encaro el problema de la eikonal cuántica para el caso de la ecuación de Schrödinger en el contexto configuración (1) asumiendo que busco soluciones viajeras (2) resulta la ecuación (5). Esta tiene sentido si la energía mecánica total es mayor a la energía potencial en un punto del espacio. Luego deduzco que forma explícita tiene la eikonal (6) que como se indica en el texto es proporcional a la longitud de camino del rayo. Este detalle produce que la dinámica herede las simetrías del espacio de configuración. Es decir si el espacio tiene simetría esférica, la dinámica lo tendrá.