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Geometric Quantum Mechanics I, 量子力学

La mecánica cuántica puede elaborarse de manera geométrica por medio del uso de los corchetes de Poisson y las simetrías impuestas del espacio. En esta primera entrega introduzco que tipo de transformación debe existir para que se verifique el postulado sobre la invariancia de los autovalores de una magnitud (que es lo único medible). Por el teorema de Wigner y la condición de continuidad de toda transformación uni-paramétrica, resulta que existe una transformación unitaria (1) que transforma al operador asociado a una magnitud como (2), que verifica las condiciones 1 y 2. La forma funcional de dicha transformación se la puede obtener pidiendo derivabilidad (3), luego de (4) se define lo que se conoce como generador infinitesimal activa (4). Este generador, el cual es un operador del espacio de Hilbert, debe ser Hermítico (5). Luego la forma funcional es (6).
En los ejemplos se pude asociar a cada transformación o cambio inercial de coordenadas un generador, en el caso de la rotación en un eje es el momento angular, en el caso de la traslación es el momento lineal. En estas entregas solamente se estudiará la dinámica asociada a la invariancia ante las tranformaciones de Galileo, por eso solo se enuncia el bus de Galileo. Y Finalmente la evolución temporal es regida por el operador Hamiltoniano.

Symplectic Berry’s phase, 量子力学

La fase de Berry aparece cuando los efectos de la geometría son críticos en el coportamiento de los estados cuánticos. En si se produce en un proceso cíclico adiabático de un sistema cuántico, pero se ha demostrado que aparece cuando el proceso no es adiabático y no cíclico  [Samuel]. Desde el punto de vista geométrico la fase de Berry es una anholomía de la variedad diferenciable con curvatura no nula, definida por los parámetros o coordenadas de la función de estado. 
Para deducirla se parte de la ecuación de Schrödinger (1), donde de (2) se asume que la evolución del estado cuántico está afectado por un factor de fase de módulo unidad (3) (esto es redundante). Sustituyendo (2) en (1) y operando se obtiene (5), el cuál está compuesto de dos términos, el último corresponde a la evolución temporal dada por el Hamiltoniano, pero el primero se debe a los aspectos propios de la curvatura del tiempo. En (6) se indica que se entiende por fase de Berry en un circuito cerrado de trayectorias, si se opera en la superficie por el teorema de Stokes para uno-formas, se obtiene (7). Por otro lado como se usa valores medios de operadores, en (9) se relaciona el volumen del espacio de las fases con su aspecto cuántico. Finalmente en (10) se encuentra que la fase de Berry no es más que el flujo clásico en una trayectoria cerrada del espacio de las fases. 

Two interpretations of quantum, 量子力学

Aquí expongo dos de las más aceptadas interpretaciones de la cuántica además de la formulada por Copenhague. En la primera cito la versión dada por Ballentine sobre ensable de estados cuánticos virtuales. Y la segunda es la usada tanto en lógica cuántica computacional como en computación cuántica. Uno podría pensar que son equivalentes, pero no lo son, pues en en la primera se centra en la definición de estado como proyector del espacio de Hilbert, y en la medida de la probabilidad, en este caso la ecuación de evolución resulta de las simetrías propias del espacio, que en caso de velocidades no relativistas y sin curvatura del tiempo es la ecuación de Schrödinger. En cambio en la segunda visión ya se postula cual será la ecuación de evolución. Esto restringe el rango de aplicación a procesos reversibles (uno de los talones de Aquiles de la computación cuántica). En cambio la primera es mucho más general. La ventaja de la segunda respecto de la primera, es que la medida de probabilidad está referida a un solo contexto, con lo cual la lógica asociada es más simple para desarrollar un lenguaje de programación.

Quantum parallelism (Popper’s point of view ), 量子力学

En esta entrega se entabla una relación entre el matema, la física y el concepto de la cuántica según la interpretación de Popper. La matriz densidad como codificadora del cálculo de probabilidad de un evento, puede modificarse para introducir la temperatura como parámetro (4) a través de la función partición de Botzman del micro canónico, en este caso, pues se conoce los auto estados de la energía (3). Esta forma de introducir la temperatura pone en evidencia la fuerte dependencia de una medición con la temperatura, pero al igual que el tiempo en la mecánica cuántica y clásica, la temperatura no forma parte de la teoría. Este hecho se puede solucionar usando la entropía de Landauer, pero todavía no se desarrollado una teoría en concreto.

Complete set of compatible observables or context, 量子力学

En esta entrega hago una breve introducción a lo que se entiende por contexto en cuántica. Esto está íntimamente ligado a la retícula de proyectores asociado a propiedades (autovalores) de operadores hermíticos que conmutan. Bajo este contexto la probabilidad dada por la regla de Born es una verdadera probabilidad (pues verifica los axiomas de probabilidad), por lo que los resultados experimentales coincidirán con al teoría.
Cabe destacar que si se intentase construir una retícula como unión de dos contextos esta resulte no distributiva, es decir el nuevo conjunto de observables resulte incompatible y haya pares de operadores que no conmuten. En cuántica cuando hay operadores que no conmutan la probabilidad dada por la regla de Born no es una verdadera probabilidad.

Logic of quantum theory, 量子力学

En esta entrega, como contrapartida a la mecánica clásica, comento de manera breve la lógica de la teoría cuántica, que luego devendrá en la mecánica cuántica. El motivo principal radica en los siguiente: para la mecánica clásica se apela a conjuntos o a lo sumo a subconjuntos conexos de un espacio vectorial. Pero en cuántica, si o sí se debe apelar a un espacio vectorial de Hilbert. Sobre este espacio la lógica (vista como retícula ortocompletada) es no distributiva, por lo que no es posible definir en ella una verdadera probabilidad, es decir las medidas estadísticas hechas en experimentos no coinciden con lo que predice la teoría, salvo cuando los proyectores, o operadores conmutan. Sólo cuando ocurre esto la lógica cuántica coincide con la clásica y se puede definir una verdadera probabilidad.

Logic of classical mechanics, 量子力学

En esta entrega hago una introducción a la lógica que caracteriza a la mecánica clásica. En matemáticas se entiende por lógica: a un reticulado con elemento nulo y universal, que además es ortocompletado. Para eso se parte de dos axiomas. El primero, define la relación entre una propiedad, por ejemplo el rango de  fuerza  (3, 4) newton, la velocidad vale 50 km/h, etc., y el estado en el espacio de las fases.  El segundo propone la existencia de la evolución paramétrica, donde el tiempo puede o no ser dicho parámetro. Lo que importa es que el parámetro forme parte de un conjunto bien ordenado.
En base al conjunto de pre imágenes (ver nota) se puede identificar cuando una evolución temporal es determinística o probabilística. Pero lo más importante es como relacionar una proposición (V=4 km/h) con el conjunto de pre imágenes del espacio de las fases, pues la lógica de la mecánica clásica es distributiva, ya que hereda las propiedades de una retícula de subconjuntos. Sobre estos subconjuntos del espacio de las fases se puede asociar una verdadera probabilidad como medida exterior de sigma álgebras, con lo cual todas las inferencias estadísticas experimentales guardan relación con la teoría.
Observación: De la propiedad (4) respecto a la implicación se puede deducir que dos proposiciones son iguales o equivalente si tienen  los mismos conjuntos en el espacio de las fases. Entonces dos problemas físicos son equivalentes si tienen la misma solución en el espacio de las fases. Esto tiene mucha importancia en mucho de los métodos alternativos a las leyes de Newton.

Karl Popper’s axioms and postulates of quantum, 量子力学

En este post muestro la interpretación de la cuántica según Karl Popper hecha en 1936 que difiere de la propuesta por Heisenberg. Según su punto de vista la cuántica es un ensamble virtual de eventos causados por entes cuánticos (fotones, electrones, etc.) por lo que el proceso de medición nunca se hace ni de manera simultánea ni a un solo ente. Sino a un colectivo micro canónico de entes. El define como estado, postulado 1 (3) al proyector en el espacio de Hilbert cuyos autovalores degenerados son (1). Es decir «1» si pertenece y «0» si no pertenece, esto permite una correspondencia entre la lógica clásica y el estado cuántico. Pero con una salvedad, según el postulado 2 (4) a diferencia de la visión de Heisenberg el estado fundamental de la física es el estado mezcla y no el estado puro. Esto es coherente con su punto de vista, pues según su punto de vista la preparación de experimentos nunca se resume a un solo evento sino a una colección de estos.

Quantum Demon and entropy generation, 量子力学

En esta entrega comento sobre un mecanismo  para eliminar la correlación cuántica aún a temperatura cero que se conoce como demonio cuántico, en alusión al demonio de Maxwell, este demonio tiene un aparato que deja pasar solo las funciones de onda de una sola rendija, lo que provoca un colapso de la función de onda. Pero este mecanismo hace evidente como ocurre dicho colapso. El estado sin demonio (en notación de Dirac, si bien no sigue al 100% se entiende cuál es BRA y cuál el KET) viene dado por (1), entonces la distribución de probabilidades de partículas que impactan sobre la pantalla vine dada de la operación de proyectar dicho estado sobre la pantalla (2) que es lo mismo que calcular el valor medio del operador coordenada en la base de auto-estados. En dicha distribución de probabilidad  se pude ver el fenómeno de interferencia, que no lo lo detallo. Para poder introducir al demonio cuántico hay que expandir el espacio de Hilbert introduciendo por producto directo los auto-estados ortogonales del demonio, los cuales son 0+, . El estado 0 corresponde a un estado neutro anterior al traspaso del aparato. En la tabla se pude ver el efecto que tiene el demonio sobre los estados puros de la ranura de manera de dejar pasar lo que él cree correcto. Entonces el estado final luego de pasar el aparato creado por el demonio es (3). Dicho estado se lo llama entrelazado (estado de Bell), pues no es posible descomponerlo como combinación lineal  de productos directos de estados puros. De la condición de ortogonalidad (4) y (5), resulta el valor medio del operador coordenada dado por (6). Esto concuerda con el uso de estados mezcla a través de la matriz densidad (7). El demonio causa que la entropía del universo se incremente en un valor (8) dado por el principio de Landauer. Esto muestra que el colapso de la función de onda (proceso de medición) no gratuito, sino que es irreversible, al igual que la pérdida de correlación de los estados cuánticos.

Nota: En (8) no se hace referencia a la temperatura, por lo que esto puede ocurrir aún a temperatura absoluta cero.

Onda de acción y cuántica, 量子力学

Sea el lagrangiano (1) de una partícula masiva, luego el momento canónico conjugado vendrá dado por (2). En función de esto se puede hallar el hamiltoniano (3), el cual se supone independiente del tiempo (4), por lo que el sistema es autónomo. Bajo tales circunstancias el hamiltoniano es constante en la órbita y vale la energía mecánica total (5). Si se hace una transformación canónica (6)  a una nueva hamiltoniana, K=0, (7), resulta que ahora en el nuevo espacio de las fases el momento es la canónica conjugada de la coordenada generalizada (8). A (9) se lo conoce como ecuación de Hamilton-Jacoby, cuya solución es la acción hamiltoniana (10), donde los nuevos momentos P son las condiciones iniciales (11). Es fácil comprobar que además el hamiltoniano es ahora la canónica conjugada del tiempo en un espacio de las fases extendido (12). La acción cuando se verifica (4) es (13). S(q,t)=cte es similar a la ecuación de un frente de onda donde su vector de onda (14) no es otra cosa que el momento canónico. Luego de la teoría de ondas la velocidad de grupo es (14-bis) (segundo 14), si se compara este resultado con el caso de un fotón es sorprendente la coincidencia, pero acá no corresponde al caso de una partícula libre. La onda de acción es 15 que corresponde a una función de onda escalar donde tiene sentido su módulo al cuadrado que corresponde a la probabilidad condicional de hallar la partícula en un estado dado. 
Observación: No se debe confundir el momento canónico con el operador momento (16).