En esta entrega uso las ecuaciones gravitomagnéticas para hallar la potencia que pierde el campo gravitatorio en el caso de considerar el movimiento planetario como una corriente masiva con movimiento circular no uniforme. La expresión (8) es deducida para el caso de ondas largas mucho mayores que el radio de la órbita (que es del orden de las UA o 147597870 km). Si bien esto es una aproximación un poco burda da una idea de magnitudes, en el caso de la Tierra, tomando la frecuencia de un año el valor es del orden de 10^(-37) watt, una insignificancia.
En esta entrega encaro una aplicación del gravito-magnetismo a la potencia emitida por una onda gravitatoria producida por una distribución de corriente de masa dada por (1). Esta corresponde a un flujo de masa plano, donde no solo varia en el tiempo, sino que espacialmente. Por supuesto en este caso el flujo no se invierte sino que como máximo se anula, lo que corresponde por ejemplo a chorros de materia enviadas al espacio. Partiendo de las ecuaciones gravito-magnéticas encuentro la ecuación de los potenciales (4) y (5) bajo la condición de transversalidad o ajuste de Coulomb. Como solo me interesa la gravedad viajera y la fuente oscila de manera sinusoidal resulta la simplificación (6), lo que se puede simplificar aún más a (9) con la hipótesis sobre el campo dada en (8). Finalmente descartando la solución de la homogénea en (10), y tomando solo el caso en el cual se produce radiación se obtiene (11). Luego el vector de Poynting gravito-magnético (12) para este caso es (14). Es interesante que la gravedad viajera dada en (16) (falta el versor asociado que tiene la dirección del eje x) es una onda transversal cuya perturbación afecta al eje «x» aunque se propague en ele eje «z». Por otro lado la potencia emitida al vacío en un cuadrado de lado dado por la fase de oscilación de la materia es (15), que cobra significado si el flujo de masa es del orden de 10^27 kg/(m^2 s), lo cual corresponde a masas estelares.
Aquí enfoco el problema de encontrar el campo gravitatório de una masa que gira pequeña en el sentido del tamaño respecto a la distancia, pero no respecto de su masa la cual puede ser tan grande como el de una estrella de neutrones. Se parte de la solución particular para el campo geomagnético (1) el cual es el rotor de un potencial (2), para luego hacer un desarrollo en serie de potencias (3). Luego de varios pasos se obtiene (7).
En esta entrega obtengo el potencial gravitomagnético (Frame Dragging) generalizado para eso parto de la solución transversal de las ecuaciones gravitomagnéticas. Es decir se verifica (3), luego de la ecuación de la aceleración gravitacional obtenida de la ecuación de la geodésica (4), operando se obtiene finalmente (6), donde se obtiene el potencial generalizado gravitomagnético, este difiere de su par obtenido de la fuerza de Lorentz para el caso del campo electromagnético. En el caso de la tierra el potencial sería (8).
En este caso encaro el problema de la curvatura del tiempo, pero no del espacio, desde el punto de vista postulado por Élie Cartan. Desde ese punto de vista el espacio tiempo es un fibrado paramétrico. Cuyo parámetro es el tiempo propio. Esto es muy diferente a lo que se conoce como variedad vectorial que es la base de la geometría diferencial, aquí se trata de una variedad escalar. Esto no significa que pueda asociarse un fibrado vectorial tangente y cotangente. Considero el cambio de coordenadas desde una carta fibrada con tiempo recto a una carta fibrada con tiempo curvo, cuya curvatura venga dada por (1). Es decir estoy considerando un sistema de coordenadas lagrangianas y no eurelianas, de manera que el tiempo sea una transformación afin (2). Luego de las ecuaciones de Newton para el campo gravitatorio (3) se obtiene la ecuación de la geodésica (4) cuya conexión afín viene dada por (5), esta conexión no es métrica, pero eso no interesa por ahora. Suponiendo que la curvatura del tiempo deba ser coherente con un hecho empírico a gravedad débil como es el corrimiento al rojo gravitacional (6) entonces resulta (7). En el caso de campo gravitatório estático de longitud gravitacional conocida queda como ecuación de movimiento en la velocidad radial (8), en el resto de coordenadas es trivial. En este caso aparecen dos puntos de retroceso, donde uno coincide con el radio de Schwarschild. Este resultado no contemplado en la carta de tiempo recto, muestra que aún en un espacio de coordenadas plano con tiempo propio curvo la discontinuidad analítica que produce este radio aparece inevitable.
En este post evalúo como las ecuaciones gravitomagnéticas pueden usarse para desarrolar un experimento hipotético de antigravedad. Considero un flujo filiforme de masa y fuera de este un cuerpo masivo que viaja paralelo al flujo fuera de esta a una dada velocidad. Integrando las ecuaciones gravitomagnéticas para flujos filiformes (5) y (6). (a diferencia de la teoría EM en GM no existe la masa negativa por lo que un flujo de masa siempre tiene campo de aceleración) lo que resulta (7) y (8). La condición neta para que la aceleración neta (9) se anule en cualquier punto exterior al flujo es (10). Esta tiene sentido siempre y cuando la velocidad hallada sea menor que la velocidad de la luz (11).
En este post deduzco una versión equivalente al teorema de Poynting aplicado al gravitomagnetismo. Se parte de un equivalente a la potencia disipada por mecanismos ó generada por flujos de materia (1). Luego de usar las ecuaciones GM se llega a un teorema sobre el balance de potencia (5) buscado. Como se indica en la nota solo en el caso de una evolución temporal sinusoidal la densidad de impulso coincide con el flujo de energía. Esto no pasa en electromagnetísmo donde siempre hay coincidencia.
Este balance de potencia es útil para evaluar los fenómenos de ondas gravitacionales y la pérdidas de energía de una manera mucho más simple que usando los primeros órdenes de la ecuación de Einstein.
Fe de Errata: el signo en la integral doble (5) está mal debe ser un menos y no un más.
En este post trato de deducir una de las dos ecuaciones de conservación del campo a partir de las ecuaciones gravitomagnéticas. La forma del tensor de campo (7) no es caprichosa, es para obtener la fuerza gravitomagnética (9) en la ecuación de conservación (8). Pero esto tiene el precio que la fuerza del campo no es tan elegante como en electromagnetismo (10), más aún nada que ver como en (11). Solo se verifica la igualdad en (11) cuando la evolución temporal del campo es sinusoidal.
Partiendo de las ecuaciones gravito-magnéticas provenientes de la relatividad general para campos débiles (1)-(4), se propone que el campo transversal sea el rotor de un campo potencial (6). Operando como se muestra en la figura de arriba se halla la ecuación que rige los campos (8) y (9). Si bien uno está tentado a usar el calibre de Lorentz, este es inadecuado para la la gravedad, donde los campos estacionarios son los dominantes en el universo, entonces es más conveniente usar el calibrado de campo de Coulomb (10). Este tiene sentido si la corriente de materia se conserva, es decir que la densidad no dependa del tiempo (10 bis). Bajo esta hipótesis las ecuaciones de campo serán ahora (11) y (12). De la condición derivada (13) se puede ver que el potencial gravitatorio es estacionario (solución particular). Dejando los efectos propios de las ondas gravitacionales al campo A el cuál se llama potencial gravito-magnético. De (5) (que no corresponde a una fuerza de Lorentz) este potencial puede ser la vía para generar los fenómenos antigravitacionaes de cuerpos materiales pesados que rotan con gran momento angular de manera pulsante.
La piedra en el zapato de la física Argentina. "Nullius addictus iurare in verba magistri"
