La diffusion geometry o DG es usada mayormente en minería de datos y análisis de textos. Se define a la norma entre puntos del espacio de datos a (1) donde t es un factor de escala y (x,y) son pares de puntos en dicho espacio de N puntos. En si A(,) es una matriz de NxN que es la representación matricial de la norma en dicho espacio. Esta conecta cada par de puntos con una arista ponderada con pesos mayores que cierto umbral.
Se puede normalizar A(,) para obtener una matriz de Markov P(,), la cual representa un paseo aleatorio en el espacio de datos y se la interpreta como la probabilidad de transición entre el punto x e y. En DG P(,) y sus potencias son usadas para explorar la geometría de datos. Un ejemplo concreto es el análisis de textos.
Si se considera una cantidad de k-textos (libros) se puede representar cada texto como un vector vocabulario (2) donde cada componente representa la frecuencia relativa de aparición de una palabra del diccionario de las 10000 palabras más frecuentes de la lengua castellana. Entonces cada vector V_k representa un punto sobre el espacio de libros y sobre estos calculo P(,) ver (3). Entonces se puede usar los autovectores de autovalores dominantes para construir un espacio m-dimensional (menor dimensión) para encajar el espacio de datos (spectral data embeding)(4). El proyector P^l(x,y) (3 superior) no es más que la probabilidad de que por medio de un camino de longitud l; x pase a y esto se lo conoce como distancia de difusión en tiempo l.

Para entender el reduccionismo teórico, basta con analizar el siguiente paradigma: Los organismo vivos son o no son sistemas meramente o exclusivamente físico químicos (FQ)? Pero, que se querría decir al afirmar que lo son? Entonces uno podría interpretar todo análisis biológico como una visión mecanicista bajo las siguientes dos afirmaciones:

En lo referente a M1, está claro que, al menos la descripción de los fenómenos biológicos requiere el uso de términos FQ. Pero la tesis M1 va más allá, esta garantiza que las entidades y procesos biológicos como: huevo, célula, núcleo, cromosoma, mitosis; puede ser caracterizado por términos FQ. Es decir célula puede ser definida con la ayuda de términos físico químicos que llamaremos MB1. De manera análoga todos los aspectos de la conducta también deben ser derivadas de las teorías FQ que llamaremos MB2.
Tomando los enunciados MB1 y MB2, estos expresan lo que se conoce como reductibilidad de la biología a la FQ. Pero se puede entonces afirmar que el mecanicismo sostiene la reductibilidad de la biología a la FQ. Si uno niega esta afirmación entonces asume la autonomía de la Biología como tal.
Tonemos otro ejemplo, la informática. Esta está sostenida sobre un álgebra de Bole de ceros y unos los cuales puede ser reducido a un análisis electrónico de conmutadores, moduladores, etc. Más aún el modelo OSI permite hacer un análisis de capas de manera tal de independizar el análisis lógico del electrónico; por lo que es efectivamente reducible la infomática a la Electrónica y a la Física. Y la Electrónica es reducible a la FQ. Entonces como todo código que se ejecuta en una o varias computadoras es reducible a un conjunto de algoritmos, estos serán reducibles por carácter transitivo a la FQ. Ergo todo sistema experto o sistema de Inteligencia Artificial, no es más que una complicación de la articulación de las leyes FQ.
Esta última tesis, es la que permite afirmar que la psicología también pude reducirse a un complejo articulado de leyes FQ. Pero acá hay un pequeño problema. La mente humana como software del cerebro no opera de manera algorítmica. Más aún no hay forma algorítmica que modele el razonamiento lateral, que permite al hombre en general cambiar abruptamente el punto de vista para resolver un problema.
Esto permite afirmar que todo objeto abstracto creado por el hombre se encuadre dentro del teorema de Godel: por muy potente que sea un sistema lógico, siempre existirá la posibilidad de plantear proposiciones o enunciados que ni pueden ser probados, ni pueden ser refutados dentro del propio sistema. Esto llevó a afirmar lo siguiente: resulta imposible construir una máquina que opere como la inteligencia al cerebro humano. Esto es interesante pues, por ahora da por tierra cualquier intento de reduccionismo de la psicología y la conducta a la FQ. Ergo la psicología tiene por ahora autonomía como tal.

El hecho de poder medir distancias en el espacio implica poder hacerlo de manera simultánea o considerar que el intervalo de tiempo permite decir que lo estoy haciendo de esa manera. En un espacio con estructura de Galileo (no necesariamente inerciales), en el cual la estructura es invariante ante las transformaciones de Galileo, la distancia solo se la pude definir entre sucesos simultáneos.
Más aún como toda transformada de Galileo debe dejar invariante la simultaneidad entre sucesos, esto implica que la medición de distancias también resulta invariante. Esto permite proponer que: Todos los espacios con estructura de Galileo son isomorfos entres si. Es decir siempre he de encontrar una translación seguida de una rotación que me permita conectar uno con el otro.