Finalmente a modo de ejemplo aplico todo esto al tensor de Einstein asociado a una variedad de Lorentz, el cual cumple con la condición de compatibilidad de divergencia nula. Esta condición también la cumple el tensor de energía e impulso del universo, que no es más que el tensor de energía impulso de la materia más el del campo electromagnético. Esto muestra que de manera indirecta un campo EM fuerte puede causar una distorsión en el espacio tiempo a pesar de ser partículas no masivas.
Por otro lado las métricas solución de (c) no son únicas sino que difieren en una isometría cuando se le aplica las condiciones de contorno correspondientes. Al final enuncio el principio de equivalencia fuerte el cual tiene su correlato débil en el ascensor de Einstein.

En esta entrega, enuncio de manera formal el mecanismo de subida y bajada de índices a través del tensor métrico compatible con la derivada covariante. Mecanismo usado en vectores y 1-formas que se puede extender a tensores en general. Por otro lado defino lo que se entiende como divergencia de un tensor que luego la usaré en un ejemplo aplicado a la relatividad general.

En esta entrega hago un breve resumen del tensor de Ricci y variedades métricas pseudo Riemann. Cabe notar que g.2 se refiere a un diferencial de arco de curva, donde se hace uso de los pull-fower antes definido. Por otro lado (d) nos dice que la existéncia de la conexión de Levi-Civita no solo garantiza que sea la derivada covariante simétrico o sin torsión sino que existe una carta coordenada local euclídea según el teorema de Weyl.

En esta entrega muestro al famoso tensor de Riemman y las identidades de Bianchi, muy vistas en la teoría de la relatividad. Cabe destacar algo respecto a la notación; los paréntesis en los índices, (..), indica simetría de índices sumando y dividiendo por 2. En cambio […] indica la suma cíclica de 3 índices.

En esta entrega está la última parte de lo referente a derivada covariante. Cabe destacar la importancia de la misma en la caracterización de transporte paralelo en curvas. Un claro ejemplo de ello es la aceleración centrípeta. También aparece la definición de geodésica determinada por la derivada.
La definición de Kozul puede extenderse a tensores (d) r-veces contravariantes y s-veces covariantes, dentro de los cuales están las formas diferenciales como tensores una vez covariantes.

Nota: x representa el producto tensorial en el fibrado tangente.

De la definición de torsión, el cual es un tensor a diferencia de la derivada covariante que no lo es, uno puede pedir que el fibrado no tenga torsión, en tales casos la derivada covariante es simétrica y por el teorema de Weyl uno puede encontrar una carta coordenada loca donde se anule los símbolos de Cristoffel de tal manera que en dicha carta sea un espacio euclideo. Esto tiene mucha importancia en relatividad general, pues esto justifica el ascensor de Einstein y la covariancia de los sistemas no gravitantes o de Minkowsky.

En esta entrega defino derivada covariante como translación paralela isomorfa, esta definición si bien es gráfica para el uso intuitivo, es inútil para su uso operacional. Por eso hago uso de la definición de Kozul que es la usada en la actualidad. Así como la derivada covariante coordenada donde para una carta local, permite definir los símbolos de Cristoffel de segunda especie y su uso no intrínseco. Por otro lado esto permite definir el concepto de espacio localmente euclídeo en una variedad.

En esta entrega hago mención a la Derivada de Lie para el caso de campos escalares, vectoriales (corchetes de Poisson) y formas diferenciales. Están en notación intrínseca, para llevarlo a una carta coordenada es cuestión de aplicar lo visto en las notas anteriores o preguntarmelo.
Nota: El espacio de todos los campos vectoriales sobre M forman un espacio vectorial lineal V(M) que dotado de los corchetes de Poisson definen un álgebra de Lie.

Las ecuaciones de campo de Einstein (1) junto con la condición de compatibilidad (2), permiten deducir un conjunto de ecuaciones similares a las ecuaciones de Maxwell pero para el campo de aceleración g. Si se supone que la distorsión de la métrica de Minkowsky debido a la presencia de materia es débil. Entonces se puede hacer un desarrollo en serie de primer orden del tensor métrico (3), donde eta es la métrica de plana con signatura (+1,-1,-1,-1). En función de esto se puede escribir el tensor de Ricci (4) y la curvatura escalar (5) en función del tensor métrico h. Luego por la definición del tensor G resulta la nueva condición de compatibilidad (7), la que da sentido al nuevo tensor de campo de curvatura k. El cual satisface una ecuación que permite reemplazar la ecuación no lineal (1) por otra lineal (8) donde T es el tensor de energía impulso de la materia y la radiación. Si se define los potenciales escalare gravitatorio y vectorial garvito-magnético (9) y (10) resulta el campo de aceleración de gravedad (9′) y el vector gravito-magnético (10′). En función de estos campos se puede simplificar (8) cuando no hay presencia de radiación electromagnética en las ecuaciones (11,12,13,14). Las cuales se las conoce como ecuaciones de campo gravito-magnético. Las cuales son similares a las ecuaciones de Maxwell. Salvo por el hecho que en gravedad no existe la masa negativa.

En esta entrega defino lo que es fibrado tangente y fibrado cotangente. Además del flujo de un campo vectorial, muy usado en sistemas dinámicos, relatividad especial y general, etc.

En esta entrega defino todo lo referentente a espacio cotangente a una variedad y la definición de pull-back, para luego definir lo que se entiende por uno forma diferencial.
Nota: el punto p que se hace referencia está sobre la carta coordenada.