Mixing in dynamical systems

De blog2
Un concepto fundamental en sistemas dinámicos, mecánica de fluidos y fisicoquímica es la noción de mezclado o mixing. Existe un clásico ejemplo propuesto por Arnol y Avez: Un vaso contiene 20% de ron y 80% de coca cola, inicalmente están separados (ver figura) A es la región ocupada por el ron y B es la ocupada por la coca cola, luego del mezclar n veces ya no se puede distinguir donde está cada uno. Esto se lo puede cuantizar usando la medida de probabilidad (1), cuando aparece el fenómeno de mixing el sistema pierde correlación entere sus partes y es seguro que el sistema es ergódigo. Pero que un sistema sea ergódico no implica que tenga mixing. Visto desde el punto de vista de la autocorrelación, el mixing causa que esta decaiga exponencialmente a cero (3), lo que Arnold-Avez indican como “el sistema relaja al equilibrio térmico”.

Frenado de Abraham Lorentz

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La fuerza de frenado aquí deducida parte de la fórmula de la potencia radiada por una carga (1) la cual está acelerada conocida como fórmula de Larmor. Desde este punto de vista se asume que el tratamiento es no relativista o cuasi-relativista, para llevar a unidades homogeneas se toma la velocidad de la luz C=1. Suponiendo que toda la potencia emitida puede tener su equivalente mecánico en una fuerza (2), integrando por partes se llega a la igualdad (3). Ahora bien el segundo miembro de (3) se anula en laguna de estas situaciones.
  1. Movimiento circular
  2. Aceleración constante, con movimiento rectilíneo
  3. Movimiento rectilíneo con condiciones privilegiadas en los tiempos iniciales y finales.
Para la posterior aplicación se supondrá la condición (3). Luego resulta la fórmula de la fuerza de frenado (6), la cual depende solo de la derivada de la aceleración. Por ser una fuerza de frenado esta actúa de manera similar a un rose, pero no tanto, pues es más parecido a la ley de Lenz es decir esta fuerza se opone al cambio de la aceleración. El tiempo de relajación (7) depende en gran medida del cuerpo cargad y da la rapidez con que la carga puede adecuarse a los cambios de las fuerzas exteriores, en el caso de los electrones este valor es del orden de 10^(-16) segundos luz ó 10^(-24) segundos, entonces en cualquier estudio no relativista de partículas cuánticas puede no tenerse en cuenta este fenómeno. De la segunda ley de Newton, y asumiendo que es una fuerza de frenado, resulta la ecuación de movimiento (8). Esta formula difiere de la original, pues acá adopto dos puntos de vista:
  1. Es un frenado tipo inductivo
  2. Tomo la soluciones restardadas lo que evita el fenómeno de premoniciones.
Si aplico esto al caso de una fuerza constante que actúa en el instante inicial resulta que la aceleración no es uniforme (9) alcanzando el valor conocido solo cuando t es mucho mayor a t_0. Por último la velocidad en cada instante es (10).

Tiempo propio en Relatividad General

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En relatividad se llama tiempo propio al tiempo medido entre eventos que ocurren en el mismo lugar del espacio que el instrumento de medida. Un sistema acelerado medirá un tiempo propio entre eventos que será menor que el tiempo coordenado medido entre eventos por un sistema no acelerado. En el espacio de Minkowski, el tiempo propio representa la longitud de curva de la horaria, que siempre es mayor o igual que la diferencia de sus coordenadas temporales, es decir el tiempo propio se dilata respecto del tiempo coordenado.
El tiempo propio en Relatividad Especial (RE) entre dos eventos de la horaria se calcula de manera sencilla aún en sistemas acelerados (ver: Partic..). Pero en Relatividad General (RG) la cosa cambia y se debe apelar a la métrica de los sistemas acelerados (2), cabe observar que el tiempo propio en RG coincide con la distancia de la horaria solo en el caso de horarias temporales, sino se debe apelar al tiempo estándar. En el caso de movimientos rectilíneos uniformes se recupera el reultando dado por la relatividad restringida (4), pero en el caso de un movimiento circular uniforme como es el caso de un disco que rota la métrica toma el aspecto (5). Para el caso de un observador adosado al disco el tiempo propio (6) toma el aspecto de de (1) con solo reemplazar la velocidad con la velocidad tangencial, pero para un observador fuera del disco, que no se mueve con este y está en reposo respecto a la base, el tiempo coordenado y el tiempo propio coinciden, con lo cual muestra la coherencia de la RG frente a la RE.
En el caso de un movimiento acelerado generado por una fuerza constante la forma correcta de resolver este problema es usando las coordenadas de Rindler, en este caso la métrica toma la forma (9), pero ya calcular en tiempo propio en estos casos es algo más complicado (10) y (11).

Sobre las leyes de Newton y el Equilibrio

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Es el texto que publico hago referencia a la validez del concepto de la estática en la cual se postula la condición que R=0 (la resultante de fuerzas concurrentes a un punto) este permanecerá en reposo o en movimiento uniforme. Esto es verdad pero para un conjunto de fuerzas cuya forma funcional del la derivada de la fuerza, no posea divergencias continuas. En este caso la derivada de la fuerza respecto a la coordenada en el origen no está acotada, por lo tanto aún cuando F=0 y las condiciones iniciales nulas aparece una aceleración que causa que el cuerpo se mueva. Cabe destacar que en ningún momento se viola la conservación de la energía mecánica total. Por lo que hay que apelar al segundo principio para descartar este comportamiento que se va de cabeza con la intuición.