Quantum parallelism (Popper’s point of view ), 量子力学

En esta entrega se entabla una relación entre el matema, la física y el concepto de la cuántica según la interpretación de Popper. La matriz densidad como codificadora del cálculo de probabilidad de un evento, puede modificarse para introducir la temperatura como parámetro (4) a través de la función partición de Botzman del micro canónico, en este caso, pues se conoce los auto estados de la energía (3). Esta forma de introducir la temperatura pone en evidencia la fuerte dependencia de una medición con la temperatura, pero al igual que el tiempo en la mecánica cuántica y clásica, la temperatura no forma parte de la teoría. Este hecho se puede solucionar usando la entropía de Landauer, pero todavía no se desarrollado una teoría en concreto.

Complete set of compatible observables or context, 量子力学

En esta entrega hago una breve introducción a lo que se entiende por contexto en cuántica. Esto está íntimamente ligado a la retícula de proyectores asociado a propiedades (autovalores) de operadores hermíticos que conmutan. Bajo este contexto la probabilidad dada por la regla de Born es una verdadera probabilidad (pues verifica los axiomas de probabilidad), por lo que los resultados experimentales coincidirán con al teoría.
Cabe destacar que si se intentase construir una retícula como unión de dos contextos esta resulte no distributiva, es decir el nuevo conjunto de observables resulte incompatible y haya pares de operadores que no conmuten. En cuántica cuando hay operadores que no conmutan la probabilidad dada por la regla de Born no es una verdadera probabilidad.

Logic of quantum theory, 量子力学

En esta entrega, como contrapartida a la mecánica clásica, comento de manera breve la lógica de la teoría cuántica, que luego devendrá en la mecánica cuántica. El motivo principal radica en los siguiente: para la mecánica clásica se apela a conjuntos o a lo sumo a subconjuntos conexos de un espacio vectorial. Pero en cuántica, si o sí se debe apelar a un espacio vectorial de Hilbert. Sobre este espacio la lógica (vista como retícula ortocompletada) es no distributiva, por lo que no es posible definir en ella una verdadera probabilidad, es decir las medidas estadísticas hechas en experimentos no coinciden con lo que predice la teoría, salvo cuando los proyectores, o operadores conmutan. Sólo cuando ocurre esto la lógica cuántica coincide con la clásica y se puede definir una verdadera probabilidad.

Logic of classical mechanics, 量子力学

En esta entrega hago una introducción a la lógica que caracteriza a la mecánica clásica. En matemáticas se entiende por lógica: a un reticulado con elemento nulo y universal, que además es ortocompletado. Para eso se parte de dos axiomas. El primero, define la relación entre una propiedad, por ejemplo el rango de  fuerza  (3, 4) newton, la velocidad vale 50 km/h, etc., y el estado en el espacio de las fases.  El segundo propone la existencia de la evolución paramétrica, donde el tiempo puede o no ser dicho parámetro. Lo que importa es que el parámetro forme parte de un conjunto bien ordenado.
En base al conjunto de pre imágenes (ver nota) se puede identificar cuando una evolución temporal es determinística o probabilística. Pero lo más importante es como relacionar una proposición (V=4 km/h) con el conjunto de pre imágenes del espacio de las fases, pues la lógica de la mecánica clásica es distributiva, ya que hereda las propiedades de una retícula de subconjuntos. Sobre estos subconjuntos del espacio de las fases se puede asociar una verdadera probabilidad como medida exterior de sigma álgebras, con lo cual todas las inferencias estadísticas experimentales guardan relación con la teoría.
Observación: De la propiedad (4) respecto a la implicación se puede deducir que dos proposiciones son iguales o equivalente si tienen  los mismos conjuntos en el espacio de las fases. Entonces dos problemas físicos son equivalentes si tienen la misma solución en el espacio de las fases. Esto tiene mucha importancia en mucho de los métodos alternativos a las leyes de Newton.

Karl Popper’s axioms and postulates of quantum, 量子力学

En este post muestro la interpretación de la cuántica según Karl Popper hecha en 1936 que difiere de la propuesta por Heisenberg. Según su punto de vista la cuántica es un ensamble virtual de eventos causados por entes cuánticos (fotones, electrones, etc.) por lo que el proceso de medición nunca se hace ni de manera simultánea ni a un solo ente. Sino a un colectivo micro canónico de entes. El define como estado, postulado 1 (3) al proyector en el espacio de Hilbert cuyos autovalores degenerados son (1). Es decir “1” si pertenece y “0” si no pertenece, esto permite una correspondencia entre la lógica clásica y el estado cuántico. Pero con una salvedad, según el postulado 2 (4) a diferencia de la visión de Heisenberg el estado fundamental de la física es el estado mezcla y no el estado puro. Esto es coherente con su punto de vista, pues según su punto de vista la preparación de experimentos nunca se resume a un solo evento sino a una colección de estos.

Quantum Demon and entropy generation, 量子力学

En esta entrega comento sobre un mecanismo  para eliminar la correlación cuántica aún a temperatura cero que se conoce como demonio cuántico, en alusión al demonio de Maxwell, este demonio tiene un aparato que deja pasar solo las funciones de onda de una sola rendija, lo que provoca un colapso de la función de onda. Pero este mecanismo hace evidente como ocurre dicho colapso. El estado sin demonio (en notación de Dirac, si bien no sigue al 100% se entiende cuál es BRA y cuál el KET) viene dado por (1), entonces la distribución de probabilidades de partículas que impactan sobre la pantalla vine dada de la operación de proyectar dicho estado sobre la pantalla (2) que es lo mismo que calcular el valor medio del operador coordenada en la base de auto-estados. En dicha distribución de probabilidad  se pude ver el fenómeno de interferencia, que no lo lo detallo. Para poder introducir al demonio cuántico hay que expandir el espacio de Hilbert introduciendo por producto directo los auto-estados ortogonales del demonio, los cuales son 0+, . El estado 0 corresponde a un estado neutro anterior al traspaso del aparato. En la tabla se pude ver el efecto que tiene el demonio sobre los estados puros de la ranura de manera de dejar pasar lo que él cree correcto. Entonces el estado final luego de pasar el aparato creado por el demonio es (3). Dicho estado se lo llama entrelazado (estado de Bell), pues no es posible descomponerlo como combinación lineal  de productos directos de estados puros. De la condición de ortogonalidad (4) y (5), resulta el valor medio del operador coordenada dado por (6). Esto concuerda con el uso de estados mezcla a través de la matriz densidad (7). El demonio causa que la entropía del universo se incremente en un valor (8) dado por el principio de Landauer. Esto muestra que el colapso de la función de onda (proceso de medición) no gratuito, sino que es irreversible, al igual que la pérdida de correlación de los estados cuánticos.

Nota: En (8) no se hace referencia a la temperatura, por lo que esto puede ocurrir aún a temperatura absoluta cero.