En esta segunda entrega continuo analizando la cuantización del campo electromagnético (EM) usando la descomposición en modos normales hecha en una publicación anterior. Esa descomposición la sustituyo en el Hamiltoniano del campo (1), que se simplifica usando las condiciones de ortogonalidad a (2). Si uno hace una asociación de cada termino de evolución temporal con términos de un ensamble de osciladores armónicos cuánticos (4) y (5) resulta (6), que usando la segunda cuantización se obtiene (7) donde aparecen los operadores de creación y destrucción de estados. finalmente los operadores de campo EM resultan (8) y (9) con sus correspondientes evoluciones temporales.
En esta entrega analizo la primera cunatización del campo electromagnético (EM) para el caso de las ondas electromagnéticas que se propagan en el vacío, y están confinadas por conductores. Si bien esta forma de cuantización es un poco chapucera, es útil en óptica cuántica y permite obtener de manera limpia la descomposición en modos normales del campo EM (7) y (16) bajo las condiciones de ortogonalidad (11) y (17).
En esta entrega muestro uno de los teoremas más fundamentales a mi entender de la cuántica: el teorema de la no clonación de estados cuánticos arbitrarios. La única manera de clonar estados es por separado y cuando estos son ortogonales, esto permite justificar la preparación de estados mezcla de estados puros ortogonales (10).
Consecuencias:
El teorema de no clonación nos impide usar las técnicas clásicas de corrección de errores en los estados cuánticos. Por
ejemplo, no se puede crear copias de seguridad de un estado y utilizarlo para corregir los errores
posteriores. La corrección
de errores es vital en la computación cuántica, y durante
algún tiempo se pensó que era una limitación fatal. En
1995, Shor y Steane revivieron las perspectivas de la computación cuántica
de forma independiente al elaborar los primeros códigos de corrección de errores, que eluden el teorema de no clonación.
Del mismo modo, la clonación violaría el teorema de la no teletransportación, que dice que la teletransportación clásica (no debe confundirse con el entrelazamiento con ayuda de la teletransportación) es imposible.
El teorema de no clonación no impide la comunicación superlumínica a través de entrelazamiento cuántico, como la clonación es una condición suficiente para la comunicación, pero no necesaria.
El teorema de la clonación no nos impide el principio holográfico de un agujero negro, en el sentido de que tenemos dos copias de la información que yace en el horizonte de sucesos y el interior de un agujero negro al mismo tiempo.
En este post explico de manera simplificada la obtención de la Ecuación de Dirac a partir del hamiltoniano de una partícula libre relativista (1), usando la cuantificación de Sommerfeld y las álgebras de Clifford. Para ello se parte de la ecuación de Klein-Gordon (4) en la cual, a diferencia de otras deducciones, ya parto de la derivada covariante, pero la estar en una carta plana, resultan derivadas parciales ordinaria. Es decir bajo este punto de vista la gravedad no es un campo como el electromagnético, sino que es visto como una modificación de la geometría del espacio tiempo. Luego utilizando un álgebra de Clifford R1,3 que es homeomorfa al álgebra de cuaterniones (en este caso las matrices son complejas), es posible factorizar (4) a (5). De (5) se obtiene dos ecuaciones, donde solamente una de ellas es la ecuación de Dirac, usando el operador de Dirac (6). Esta no solo es de primer orden en el tiempo, sino que permite definir una medida de probabilidad. En (10) se hace una correspondencia con un pseudo momento, pues (9) no es el verdadero momento relativista. En el caso de existir campo electromagnético la ecuación de Dirac toma la forma (11).
En este post enfoco el tema en el teorema de Ehrenfest sobre el valor medio de operadores, como se puede ver en (3), si el operador no depende explícitamente del tiempo y es compatible con el hamiltoniano, entonces su valor medio se mantiene durante toda la evolución del sistema. Un caso particular de esto son los proyectores de estado. En el caso particular del operador posición y momento se deduce (5) y (6), esto no indica que la evolución temporal de los valores medios siga una trayectória clásica, solo cuando se verifica además (7) y (8) se cumple esa situación.
En este post encaro el problema de una solución muy particular de la ecuación (1) que es el caso de una función de onda de módulo uno isomorfa a la esfera de Riemann del campo complejo (2), en el caso estacionario de la acción (3). Esto resulta la ecuación no lienal en derivadas parciales (4). Acá uso la hipótesis WKB pero extendiendo esta a toda la esfera de Riemann, lo cual produce (5). Bajo la situación de que el gradiente de potencial es muy suave en comparación con la variación de energía puesta en juego resulta (7), ahora bien bajo dicho punto de vista se puede reducir el ensamble de trayectorias a un camino en la esfera de Riemann, lo cual finalmente produce la solución (8). Esta solución muestra la extinción asintótica de los estados cuánticos cuando la energías puestas en juego, E, son grandes en comparación con los potenciales.
En este post enfoco el problema del flujo de probabilidad en mecánica cuántica de entes cuánticos en el contexto de configuaración. La corriente de probabilidad propuesta en (7) obedece una ecuación de continuidad (8). En el caso de sistemas estacionarios donde el módulo de la función de onda no cambia con el tiempo, dicha corriente es solenoidal. Luego encaro dos ejemplos, en el caso de una partícula libre se puede ver que dicho flujo es paralelo a al autovalor del operador momento lineal, pero en el caso de la superposición de dos estados, ya no se verifica la ley del paralelogramo (9), y sería una suma ponderada si se hace un promedio en el radio de coherencia (10).
En este post efectúo una deducción cuasi relativista de la aparición de la constante de estructura fina para el caso de un átomo hidrogenoide en el espacio de Minkowski. Para cuanttizar el Hamiltoniano (3) que tiene en cuenta los efectos relativistas a segundo orden, uso la cuantificazión de Sommerfeld. Luego el valor medio de la energía en un auto-estado del átomo será (5), de lo que resulta (6), donde aparece la constante de estructura fina (7) para el caso del electrón interactuando con el campo electromagnético generado por el núcleo.
Es este post analizo el proceso de transición atómica en los estados del átomo hidrogenoide cuando esta se debe a la abosorción y emisión de fotones. En el caso de la absorción parto de la la conservación del momento lineal (1) y energía (3) suponiendo que el choque es plástico visto desde el sistema de referencia en el cuál el átomo está inicialmente en reposo. Bajo la situación particular de que el átomo tiene mucha más masa que la diferencia de energía de estados resulta (4). Como se puede apreciar, a diferencia de lo que se comenta en muchos libros de texto, la energía del fotón absorbido debe ser mayor que la diferencia de energía entre niveles para que ocurra la transición, ya que el átomo debe absorber el momento lineal del fotón por eso nunca el choque resulta en un átomo en reposo. Caso contrario el fotón no es absorbido y el choque pasa a ser elástico.
Caso similar ocurre en el caso de la emisión (9), donde la energía del fotón emitido es menor que la diferencia de energía entre estados. Por lo tanto este nunca podrá ser absorbido por otro átomo si son niveles consecutivos, causando un choque plástico entre átomos que extingue su energía (fotón) en incremento de la energía interna del colectivo de átomos.
La piedra en el zapato de la física Argentina. "Nullius addictus iurare in verba magistri"
