He ensayado generar una serie de muestras a tiempo constante de 4096 realizaciones de ruido, es decir una serie de x_i(t=cte) con i=1..4096, tanto para ruido marrón, cuadrado del ruido marrón y su integral temporal. En todos los casos las muertas indica que su coeficiente de Hurst, obtenido por deternded fluctuation analysis (DFA), es H=1/2 y corresponde a la pendiente de las rectas de regresión de las curvas de la figura. Esto indica que el muestreo a tiempo constante repitiendo las realizaciones no coincide, desde el punto de vista del DFA, con su par en una serie temporal de iguales características. Pues El coeficiente de Hurst para una serie temporal con ruido marrón me da H=1,43 con un error de 0,01 y no coincide con el que produce un ensamble de muestras a tiempo constante. Sin embargo dentro del error sus densidades de probabilidades asociadas coinciden con lo que puedo suponer que el proceso es ergódico, pero desde el punto de vista del DFA resulta que no ocurre así. En si no tengo una explicación de lo que ocurre.

En estos días estuve reflexionando sobre la expansión del universo desde en punto de la dilatación del espacio. Es decir, actualmente no se considera al fenómeno del Big-Bang como una mera explosión, sino como un fenómeno propio de la dilatación de la métrica o la escla de la medida del propio universo. Por simplicidad llamo a dicha escala e(t). Entonces en un dado instante una longitud estará caracterizada simepre por L=x*e(t) donde x=cantidad de veces que e(t) «entra» en L, ya que en si no es un número entero sino real. (Figura 1 arriba). Una peculariedad es que x es invariante aunque L no lo sea, pues toda la dilatación del espacio está en la escala. Entonces si e(t) es monótona creciente L(t1) > L(t2) con t1>t1. Ahora bien como nosotros estamos inmersos en esa dilatación también nos dilatamos, pero la razón relativa de L no cambia y solo depende de la magnitud x (formula 2).
Pero cuanto se dilata esa escala en el tiempo, es decir, si parto de la base de que el tiempo debe ser el mismo para toda medición de distancia entre espacios galileanos, puedo suponer a priori que el tiempo propio es invariante ante todos los observadores. Entonces el tiempo que uso para caracterizar esta velocidad no se ve afectado por ningún factor de escala. Entonces lo que busco es la derivada de/dt; Por otro lado la constante de Huble H=77 Km/s por Mega parsec, en un mega parsec entran 9,78*10^14 e(t) donde tomo e(t) igual a la unida de medida metro en el tiempo en el cuál se lo definió. Por lo que de/dt=7,8773*10^(-11) m/s. Si bien esta magnitud es pequeña, uno se puede preguntar cuanto tardaría en duplicarse e(t0)=1m (donde t0=tiempo inicial de definición de la unidad). Esto da como resultado que dentro de 402755 años e(402755+t0)=2*e(t0) aunque L(402755+t0)/L(t0)=1. Increíble no!.
Ahora bien bajo este punto de vista podría pensar que la velocidad de la luz es la mitad que hacer 402755 años, pero no es así pues para medirla uno usa una escala donde lo que no cambia son las proporciones, por eso la velocidad de la luz medida no se verá alterada por el efecto de expansión por parte de los observadores inmersos en el universo.

Como se puede apreciar el espectro en color verde corresponde al ruido marrón, el cual tiene una pendiente en el gráfico log-log de 1/f^2 (recta púrpura), en cambio su integración hecha por un filtro IIR de primer orden da como resultado un ruido cuya pendiente es 1/f^4 (recta azul). Como se predijo en el resumen teórico anterior.

He experimentado un algoritmo alternativo al dado por el programa comercial llamado Vista, el cual usa algoritmos genéticos para ajustar la curva de autocorrelación (fórmula 1) en el supuesto de difusión libre. Los resultados hallados se encuentran en la Tabla 1. Como se puede apreciar en la figura el ajuste es más que satisfactorio, la curva en verde es el ajuste hecho con algoritmos genéticos y las «+» son los datos vertidos por el equipo.
Los alelos están constituidos por tres genes que corresponden a los parámetros a averiguar: G(0), tau_d y r_0/z_0.
El equipo usado para hacer las mediciones fue un microscopio confocal TCS SP2 AOBS Leica exitado con un láser al 51% de su capacidad en en rojo 543 nm. El objetivo fue de 60x/1,2 NA.

El planteo del problema es el siguiente (ver figura) o ver post anterior. Tengo dos urnas que tienen capacidad ilimitada de almacenamiento de bolitas, en una hay un número infinito (alef cero) de bolitas numeradas en 1, 2, 3, 4, 5, …. en otra está vacía, y tengo un reloj que marca las 11hs. Tengo un lapso de tiempo de una hora para pasar las bolitas de una urna a la otra de la siguiente manera.

Es decir me aproximo a las 12 sacando en la mitad del tiempo restante 10 bolitas de la urna infinita, las coloco en la otra y saco de esa aquella numerada por el evento. Entonces se asegura que al llegar a las 12hs en número de bolitas que habrá en la urna que pretendo llenar (F(N))es cero al igual que en la otra urna estando todas (un alef cero) las bolitas afuera de ambas.
Ahora bien si uno pretende demostrarlo por la propiedad ordinal de los números naturales (formula-1 de la figura), llegaría a un dilema donde no podría decidir si la urna está vacía o llena, pues la cantidad de bolitas que tengo dentro de la urna es siempre 9*N en cambio las que tengo afuera es N. Y si uno lo gráfica dará rectas que nunca se tocan. Pero por otro lado siempre habrá un momento que saque todas las 9*N bolitas que puse.
La solución a las paradojas del infinito es usar la propiedad cardinal de los naturales. En lugar de preocuparme por cuantas bolitas van quedando, asumo que quiero demostrar que está vacía la urna, por lo tanto de la formula-2 uno suma ceros infinita veces. Por otro lado enumero las bolitas y defino dos operaciones:

Entonces esos ceros los puedo pensar como operaciones consecutivas de poner y sacar bolitas, formula-3 , como dichas operaciones son asociativas (no puedo conmuta sacar con poner, pero si poner entre bolitas y lo mismo que sacar), lo asocio de manera tal de obtener otro mecanismo equivalente, el dado por la formal-4 que representa al caso que se estaba planteando. Lego es trivial darse cuenta que la urna estará vacía cuando saque el alef-cero de bolitas de la urna llena.
Nota: Acá se pierde la noción de límite al infinito, pues esta usa la propiedad ordinal y como vimos se llega a una paradoja.